疊代函數

在數學中，疊代函數^[1]是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做疊代。

定義

在集合 $X$ 上的疊代函數的形式定義為:

設 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函數。定義 $f$ 的 $n$ 次疊代 $f^{n}$ 為 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$ ，這裡的 $\operatorname {id} _{X}$ 是在 $X$ 上的恆等函數。

在上述中， $f\circ g$ 指示函數複合；就是說 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 。

換句話說，疊代函數也可以表示為以下的形式：

f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))

$f^{0}(x)$ 定義為 $x$ 。

$f^{-n}(x)$ 定義為 $f^{n}(x)$ 的反函數。（如果 $f^{n}(x)$ 的反函數不存在，則 $f^{-n}(x)$ 也不存在）

因此， $f^{1}(x)$ 就是 $f(x)$ ， $f^{2}(x)$ 是 $f(f(x))$ ， $f^{0}(x)$ 是恆等函數 $x$ ， $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函數（如果存在的話），而 $f^{\frac {1}{2}}(x)$ 就是能夠使得合成函數 $g(g(x))$ 正好是 $f(x)$ 的函數 $g(x)$ 。

注意，一般情況下， $f^{n}(x)$ 並不等於 $(f(x))^{n}$ 或 $f(x^{n})$ ，而例如 $\sin ^{-1}(x)$ 是 $\sin(x)$ 的反函數，亦即 $\arcsin(x)$ ，而不是 ${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$ 。

例

一些特殊函數的冪次為（其中 $a$ 、 $b$ 、 $n$ 可為任意複數，亦即 $a,b,n\in \mathbb {C}$ ）：

$f(x)=a$ ， $f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$ （在 $n$ 是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比 $0^{n}$ 在 $n$ 是負實數或虛數的時候也沒有定義）

$f(x)=x+a$ ， $f^{n}(x)=x+na$

$f(x)=ax$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x$

$f(x)=x^{a}$ ， $f^{n}(x)=x^{a^{n}}$ （注意疊代冪次要由右往左算）

$f(x)=ax+b$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$ （ $a\neq 1$ ）

$f(x)=bx^{a}$ ， $f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$ （ $a\neq 1$ ）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義： $a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$ ，當 $a$ 為負實數或虛數時， $\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$ ，其中 $|a|$ 為複數 $a$ 的絕對值， ${\text{arg}}(a)$ 為複數 $a$ 的主幅角， ${\text{Re}}(a)$ 為複數 $a$ 的實部， ${\text{Im}}(a)$ 為複數 $a$ 的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中 $m$ 、 $n$ 可為任意複數，亦即 $m,n\in \mathbb {C}$ ：

$f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)$

$(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)$

注意函數的合成是不可交換的（ $gf(x)$ 並不一定等於 $fg(x)$ ）但因為可結合（ $h(gf)(x)$ 一定等於 $(hg)f(x)$ ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算 $P_{n}^{m}$ 、 $C_{n}^{m}$ 拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的 $n$ 次方以及微分 $n$ 次（ $n$ 為負整數時等同於積分 $-n$ 次），也都可以用這種方式，把 $n$ 拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的 $\sum _{x=m}^{n}f(x)$ 與 $\prod _{x=m}^{n}f(x)$ 中， $f(x)$ 為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候， $m$ 跟 $n$ 也能拓展到任意複數，就跟積分式 $\int _{m}^{n}f(x)$ 一樣），至於超運算 $a[n]b$ 能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。