辛拓撲 和代數幾何 中，量子上同調 環 是閉 辛流形 的普通上同調環 的推廣。有「小環」和「大環」兩種定義，一般來說後者更複雜，包含的信息也更多。係數環（一般是諾維科夫環 ）的選擇也會對其結構產生重大影響。
普通上同調的上積 描述了子流形如何相交 ，而量子上同調的量子上積則描述了子空間如何以「模糊」「量子」的方式相交。更確切地說，若它們通過偽全純曲線 相連接，就是相交的。計算曲線的格羅莫夫-威滕不變量 在量子上積的展開式中作為係數出現。
量子上同調表達了格羅莫夫-威滕不變量的結構或模式，因此對枚舉幾何 有重要意義，還與數學物理 和鏡像對稱 中的許多觀點相關。特別是，它與辛弗洛爾同調 是環同構 的。
本文中X 是閉辛流形，具有辛形式ω。
諾維科夫環 [ 編輯 ] X 的量子上同調的係數環有多種選擇，通常我們會選擇能編碼X 的第二同調 信息的環，這樣下面定義的量子上積就能記錄X 中仿全純曲線的信息。例如，令
H
2
(
X
)
=
H
2
(
X
,
Z
)
/
t
o
r
s
i
o
n
{\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
為第二同調模 其撓 （torsion）。令R 為任意有單位元的交換環，Λ是形式為
λ
=
∑
A
∈
H
2
(
X
)
λ
A
e
A
,
{\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},}
的形式冪級數 的環，其中
係數
λ
A
{\displaystyle \lambda _{A}}
R ；
e
A
{\displaystyle e^{A}}
e
A
e
B
=
e
A
+
B
{\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}}
對每個實數C ，只有有限多個ω(A )小於等於C 的A 具有非零係數
λ
A
{\displaystyle \lambda _{A}}
變量
e
A
{\displaystyle e^{A}}
2
c
1
(
A
)
{\displaystyle 2c_{1}(A)}
c
1
{\displaystyle c_{1}}
切叢 TX 的第一陳類 ，通過選擇任意與ω相配的殆復結構 ，可將其視為復向量叢 。因此，Λ是分次環，稱作ω的諾維科夫環 （其他定義亦常見）。
小量子上同調 [ 編輯 ] 令
H
∗
(
X
)
=
H
∗
(
X
,
Z
)
/
t
o
r
s
i
o
n
{\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
為X 模撓（torsion）的上同調。係數為Λ的小量子上同調 定義為
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
=
H
∗
(
X
)
⊗
Z
Λ
.
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}
其元素是形式為
∑
i
a
i
⊗
λ
i
{\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}}
的有限和。小量子上同調是分次R 模：
deg
(
a
i
⊗
λ
i
)
=
deg
(
a
i
)
+
deg
(
λ
i
)
.
{\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}
普通上同調
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
a
↦
a
⊗
1
{\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
對
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
a 、b ，以及
H
2
(
X
)
{\displaystyle H_{2}(X)}
A ，定義
(
a
∗
b
)
A
{\displaystyle (a*b)_{A}}
H
∗
(
X
)
{\displaystyle H^{*}(X)}
∫
X
(
a
∗
b
)
A
⌣
c
=
G
W
0
,
3
X
,
A
(
a
,
b
,
c
)
.
{\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}
（右式是0虧格 3點格羅莫夫-威滕不變量。）接著，定義
a
∗
b
:=
∑
A
∈
H
2
(
X
)
(
a
∗
b
)
A
⊗
e
A
.
{\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}
根據線性關係，可以推廣為定義良好的Λ雙射
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
⊗
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
→
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )}
即小量子上積 （small quantum cup product）。
幾何解釋 [ 編輯 ] 類
A
=
0
{\displaystyle A=0}
G
W
0
,
3
X
,
0
(
a
,
b
,
c
)
=
∫
X
a
⌣
b
⌣
c
;
{\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;}
即
(
a
∗
b
)
0
=
a
⌣
b
.
{\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.}
於是量子上積包含普通上積；也就是說，這定義將普通上積推廣到了非零類A 。
一般來說，
(
a
∗
b
)
A
{\displaystyle (a*b)_{A}}
龐加萊對偶 對應著通過a 、b 的龐加萊對偶的類A 的仿全純曲線空間。所以，普通上同調認為只有當a 、b 在一定的點上相遇才算做相交，而量子上同調則記錄了a 和b 的非零相交，只要有仿全純曲線相連接即可。諾維科夫環僅僅提供了足夠大的記錄系統，可以記錄所有類A 的相交信息。
令X 為具有標準辛形式（對應富比尼–施圖迪度量 ）和復結構的復射影平面 。令
ℓ
∈
H
2
(
X
)
{\displaystyle \ell \in H^{2}(X)}
L 的龐加萊對偶，則
H
∗
(
X
)
≅
Z
[
ℓ
]
/
ℓ
3
.
{\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}
唯一非零的格羅莫夫-威滕不變量是類
A
=
0
{\displaystyle A=0}
A
=
L
{\displaystyle A=L}
∫
X
(
ℓ
i
∗
ℓ
j
)
0
⌣
ℓ
k
=
G
W
0
,
3
X
,
0
(
ℓ
i
,
ℓ
j
,
ℓ
k
)
=
δ
(
i
+
j
+
k
,
2
)
{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)}
及
∫
X
(
ℓ
i
∗
ℓ
j
)
L
⌣
ℓ
k
=
G
W
0
,
3
X
,
L
(
ℓ
i
,
ℓ
j
,
ℓ
k
)
=
δ
(
i
+
j
+
k
,
5
)
,
{\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),}
其中δ是克羅內克δ函數 。於是，
ℓ
∗
ℓ
=
ℓ
2
e
0
+
0
e
L
=
ℓ
2
,
{\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},}
ℓ
∗
ℓ
2
=
0
e
0
+
1
e
L
=
e
L
.
{\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.}
這時，可以方便地將
e
L
{\displaystyle e^{L}}
q ，並使用更簡單的係數環
Z
[
q
]
{\displaystyle \mathbf {Z} [q]}
q 之度為
6
=
2
c
1
(
L
)
{\displaystyle 6=2c_{1}(L)}
Q
H
∗
(
X
,
Z
[
q
]
)
≅
Z
[
ℓ
,
q
]
/
(
ℓ
3
=
q
)
.
{\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}
小量子上積的性質 [ 編輯 ] 對純度（pure degree）的a 、b ，
deg
(
a
∗
b
)
=
deg
(
a
)
+
deg
(
b
)
{\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}
且
b
∗
a
=
(
−
1
)
deg
(
a
)
deg
(
b
)
a
∗
b
.
{\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}
小量子上積滿足分配律 ，是Λ雙線性的。單位元
1
∈
H
0
(
X
)
{\displaystyle 1\in H^{0}(X)}
小量子上積還滿足結合律 ，這是格羅莫夫-威滕不變量的膠合定律（gluing law）的結果。這相當於，格羅莫夫-威滕勢（0虧格格羅莫夫-威滕不變量的母函數 ）滿足特定的三階微分方程 ，即WDVV方程。
相交對
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
⊗
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
→
R
{\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R}
的定義為
⟨
∑
i
a
i
⊗
λ
i
,
∑
j
b
j
⊗
μ
j
⟩
=
∑
i
,
j
(
λ
i
)
0
(
μ
j
)
0
∫
X
a
i
⌣
b
j
.
{\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.}
（下標0表示
A
=
0
{\displaystyle A=0}
⟨
a
∗
b
,
c
⟩
=
⟨
a
,
b
∗
c
⟩
.
{\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .}
杜布羅溫聯絡 [ 編輯 ] 基環R 是C 時，可將向量空間
Q
H
∗
(
X
,
Λ
)
{\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )}
H 看做複流形。小量子上積限制為H 上良定義的交換積。在較溫和的假設下，具有相交對
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\ \rangle }
H 是弗羅貝尼烏斯代數 。
量子上積可視作是切叢TH 上的聯絡 ，稱作杜布羅溫聯絡 。則，量子上積的交換性和結合性對應這個聯絡上的零撓率 和零曲率 條件。
大量子上同調 [ 編輯 ] 存在
0
∈
H
{\displaystyle 0\in H}
U ，使
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\rangle }
U 以弗羅貝尼烏斯流形 的結構。
∀
a
∈
U
{\displaystyle \forall a\in U}
∗
a
:
H
⊗
H
→
H
,
{\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,}
定義為
⟨
x
∗
a
y
,
z
⟩
:=
∑
n
∑
A
1
n
!
G
W
0
,
n
+
3
X
,
A
(
x
,
y
,
z
,
a
,
…
,
a
)
.
{\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).}
H 上的積統稱為大量子上同調 （big quantum cohomology）。所有0虧格格羅莫夫-威滕不變量都可從中恢復；但一般來說，更簡單的小量子上同調並非如此。
小量子上同調只有3點格羅莫夫-威滕不變量的信息，大量子上同調則有所有n點（n ≧ 4）格羅莫夫-威滕不變量的信息。為獲得某些流形的枚舉幾何 信息，需要用到大量子上同調。小量子上同調對應物理學中的3點相關函數，大量子上同調則對應所有n點相關函數。
參考文獻 [ 編輯 ] McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1 .
Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry , pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7 
![{\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091a8dc6fcf93ae6f1fd913e94763f643f01b942)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f6187bfb51714f310b8a0541ac0ef1d641871e)
![{\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7d62b3c1aa1e766f113735fe4b8aef7ba1e056)
.