鉛垂線
外觀
鉛垂線(英語:Plumb line),又稱垂線或力線[1]:29,在大地測量學中指重力作用的方向線[2]:142[3]:8。鉛垂線與與重力矢量的方向處處相切,該方向又被稱為鉛垂方向,有時也直接以鉛垂線代稱。[4]:48-50在重力場中,鉛垂線通常是曲線而非直線,彼此互不平行,與其經過的重力等位面正交。[4]:50鉛垂線與參考橢球面的法線之間的方向偏差被稱為垂線偏差。[4]:83
曲率
[編輯]由於在重力場中,除軸線外,同一直線上各點的重力矢量方向通常各不相同。因此,鉛垂線通常是一條具有曲率的曲線。通過計算鉛垂線的曲率,可以將地形表面上進行的天文測量數據歸算到大地水準面上。[4]:53鉛垂線在某點處的曲率 可以通過該點處的重力矢量的大小 及其一階微分 、 得到:[4]:54
推導過程
[編輯]設鉛垂線的線元矢量為 ,重力矢量為 ,兩者間僅相差一個比例因子:[4]:53
根據微分幾何中曲率的計算公式,鉛垂線投影在 平面上的曲率 為
取沿向上的鉛垂方向為 軸正向,建立局部坐標框架。此時重力位 在 平面的微分為零,即
將上式代入曲率 的計算公式,得:
其中,重力位沿 軸方向的微分 . 其中 為重力矢量的大小,即 . 則重力位的微分可替換為重力矢量大小的微分:[4]:54
同理可證,鉛垂線投影在 平面上的曲率 為
由於鉛垂線與 軸在上述定義的局部坐標框架中相切,即鉛垂線投影在 平面上的曲率為零,再由總曲率的計算公式可以得到:[4]:54
參考文獻
[編輯]- ^ 孔祥元; 郭際明; 劉宗泉. 大地测量学基础. 武漢大學出版社. 2001. ISBN 978-7-30-707562-7.
- ^ Lu, Zhiping; Qu, Yunying; Qiao, Shubo. Geodesy: Introduction to Geodetic Datum and Geodetic Systems. Springer. 2014-05-23 [2020-04-05]. ISBN 978-3-642-41245-5. (原始內容存檔於2020-06-12) (英語).
- ^ 3.0 3.1 现代普通测量学. 清華大學出版社有限公司. 2001: 8 [2020-04-05]. ISBN 978-7-302-04717-9. (原始內容存檔於2020-06-12) (中文).
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- ^ 潘正風; 程效軍; 成樞; 王騰軍; 翟翊. 数字地形测量学. 武漢大學出版社. 2015-07-01. ISBN 978-7-307-15677-7.