Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。

定義

設 ${\mathcal {C}}$ 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 $R$ 上的左模範疇 $R-\mathbf {Mod}$。固定一對象 $A$，定義函子 $T_{A}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)$，此為左正合函子，故存在右導函子 $R^{\bullet }T_{A}(-)$，記為 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)$。當 ${\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod}$ 時，常記之為 $\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,-)$。

根據定義，取 $B$ 的內射分解

$J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0$

並取 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)$，得到

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0$

去掉首項 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$，最後取上同調群，便得到 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。

另一方面，若 ${\mathcal {C}}$ 中也有充足射影元（例如 $R-\mathbf {Mod}$），則可考慮右正合函子 $G_{B}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)$ 及其左導函子 $L_{\bullet }G_{B}(-)$，可證明存在自然同構 $L_{\bullet }G_{B}(A)=\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。換言之，對 $A$ 取射影分解：

$P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0$

並取 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)$，得到

$\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0$

去掉尾項 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$，其同調群同構於 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)$。

基本性質

• 若 $A$ 是射影對象或 $B$ 是內射對象，則對所有 $i>0$ 有 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0$。
• 反之，若 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0$，則 $A$ 是射影對象。若 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0$，則 $B$ 是內射對象。
• $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)$
• $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})$
• 根據導函子性質，對每個短正合序列 $0\to B'\to B\to B''\to 0$，有長正合序列：

$\cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots$

• 承上，若 ${\mathcal {C}}$ 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 $0\to A'\to A\to A''\to 0$，有長正合序列

$\cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots$

譜序列

今設 $A,B$ 為含單位元的環，並固定一環同態 $A\to B$。則由雙函子的自然同構

$\mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)$

導出格羅滕迪克譜序列：對每個 $B$-模 $M$ 及 $A$-模 $N$，有譜序列

$E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)$

這個關係稱為換底。

Ext函子與擴張

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 $A,B\in {\mathcal {C}}$，在擴張

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$

的等價類與 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)$ 之間有一一對應，下將詳述。

對任兩個擴張

$0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0$ 與

$0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0$

可以構造其 Baer 和 為 $0\rightarrow B\rightarrow C\times _{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0$，其中 $\Delta :=(1,-1)(C\sqcup _{B}C')$（反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)$。

對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1）

$0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$ 與

$0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

此時的 Baer 和定為

$0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0$

其中 $A:=X_{1}\times _{A}X_{1}'/\Delta _{1}$（反對角線 $\Delta _{1}$ 之定義同上），$Y_{n}:=X_{n}\sqcup _{B}X_{n}'$。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 $\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)$。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子

• 設 $G$ 為群，取環 $R:=\mathbb {Z} G$，可以得到群上同調：$\mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)$。
• 設 ${\mathcal {C}}$ 為局部賦環空間 $X$ 上的 ${\mathcal {O}}_{X}$-模範疇，可以得到層上同調：$\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})$。
• 設 ${\mathfrak {g}}$ 為李代數，取環 $R:=U({\mathfrak {g}})$ 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調：$\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)$。
• 設 $k$ 為域，$A$ 為 $k$-代數，取環 $R:=A\times A^{\mathrm {op} }$，$A$ 帶有自然的 $R$-模結構，此時得到 Hochschild 上同調：$\mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)$。

文獻

• Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1