曲率半径与曲率中心
在微分几何中,曲率半径R是曲率的倒数。 对于曲线上一点,曲率半径等于最贴近该点曲线的圆弧半径。 对于曲面上一点,曲率半径是最贴合该点的法向截面或其组合的圆弧半径。 [1] [2] [3]
对于空间曲线,曲率半径是曲率矢量的长度。
对于平面曲线,则曲率半径是曲线上固定一点的弧长的微分与切角的微分之比[3]的绝对值
而κ是曲率。
若曲线在笛卡尔坐标中为y(x) 作为函数图,则其曲率半径为(假设曲线可进行二阶微分)
![{\displaystyle R=\left|{\frac {\left(1+y'^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{y''}}\right|\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4255496619806b6d41b7f9af3d50129bc947d3e3)
其中![{\textstyle y'={\frac {dy}{dx}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155ae2824a8a429fd5515b941c0c86378821f8c3)
|z|为z的绝对值。
如果曲线是关于函数x(t)和y(t)的参数方程,则其曲率半径为
![{\displaystyle R=\left|{\frac {ds}{d\varphi }}\right|=\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d562b19b2b8124e7725f8ebf3a8df604eaef3)
其中![{\textstyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61624a20562e354a0402eb3f7f7283ebdd58f93a)
![{\textstyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d89b1f04c00a93461158cd569efcd2d625bfb79)
![{\textstyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf479a4bad62fee2ee590a6134d7f2106014d35)
由此启发,该结果可以表示为[2]
![{\displaystyle R={\frac {\left|\mathbf {v} \right|^{3}}{\left|\mathbf {v} \times \mathbf {\dot {v}} \right|}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9e27ba6bb6c73f8026b8574db4bdafeb2ca4cd)
其中
![{\displaystyle \left|\mathbf {v} \right|={\big |}({\dot {x}},{\dot {y}}){\big |}=R{\frac {d\varphi }{dt}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d186b3f33ad356f72d235132dcc1ee4bb4a7235)
若γ : ℝ → ℝn是ℝn中的参数方程曲线,则曲线上每个点的曲率半径ρ : ℝ → ℝ ,由[3]此可知
![{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8122548732b4647c0001be5170a9903ff2401398)
特殊情况下,若f(t)是从ℝ映射到ℝ的函数,则其图象的曲率半径γ(t) = (t, f (t))为
![{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|1+f'^{\,2}(t)\right|^{\frac {3}{2}}}{\left|f''(t)\right|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c371c3a26f78a89d42d5a8b9b5e8a55d53600b8)
推导过程[编辑]
令γ如上,并固定t 。我们想要找到一个与t处的γ零阶、一阶和二阶导数相匹配的参数方程圆的半径ρ 。显然,半径与位置γ(t) 无关,而与速度γ′(t)和加速度γ″(t) 有关。 由向量v和w只能获得三个独立标量,即v · v 、 v · w和w · w 。因此,曲率半径一定是关于这三个标量函数。即 |γ′(t)|2, |γ″(t)|2,γ′(t) · γ″(t) 。 [3]
ℝn中圆的一般参数方程为
![{\displaystyle \mathbf {g} (u)=\mathbf {a} \cos(h(u))+\mathbf {b} \sin(h(u))+\mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c0273b771eadb9d1990ab19a92d675d9222374)
其中c ∈ ℝn是圆心(无关,因为它在求导过程中消失), a,b ∈ ℝn是长度为ρ的相互垂直的向量(即, a · a = b · b = ρ2,a · b = 0 ), h : ℝ → ℝ是在t处可两次微分任意函数。
g的相关导数为
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {g} '|^{2}&=\rho ^{2}(h')^{2}\\\mathbf {g} '\cdot \mathbf {g} ''&=\rho ^{2}h'h''\\|\mathbf {g} ''|^{2}&=\rho ^{2}\left((h')^{4}+(h'')^{2}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d7878f7c8d54ff025b7050d812c8eb5ef10487)
若现在将g的导数等同于t处γ的相应导数,可得
![{\displaystyle {\begin{aligned}|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)|^{2}&=\rho ^{2}h'^{\,2}(t)\\{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t)&=\rho ^{2}h'(t)h''(t)\\|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)|^{2}&=\rho ^{2}\left(h'^{\,4}(t)+h''^{\,2}(t)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17a911313f92b4f949a6549df87082027f52084)
关于三个未知数( ρ 、 h′(t)和h″(t) )的三个方程可以求解其中的ρ ,可得曲率半径的公式为:
![{\displaystyle \rho (t)={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\right|^{2}\,\left|{\boldsymbol {\gamma }}''(t)\right|^{2}-{\big (}{\boldsymbol {\gamma }}'(t)\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''(t){\big )}^{2}}}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3871baee7a67bd195927352a23020c4cec8e4d)
提高可读性省略参数t ,可得
![{\displaystyle \rho ={\frac {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{3}}{\sqrt {\left|{\boldsymbol {\gamma }}'\right|^{2}\;\left|{\boldsymbol {\gamma }}''\right|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827a123c19d2bd5b52c13b529a7464d8a4b712d3)
半圆与圆[编辑]
对于一个半径为a的在上半平面的半圆
![{\displaystyle {\begin{aligned}y&={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\\y'&={\frac {-x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\\y''&={\frac {-a^{2}}{\left(a^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568f1e0553e8d7eff1a3afbb7f06780cab96ddee)
椭圆(红线)及其渐屈线 (蓝线)。点是椭圆的顶点, 及最大或最小的曲率半径的点
对于一个半径为a的在下半平面的半圆
![{\displaystyle y=-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af108ca8bd5795bf94b7c0f38cdc7dc42d0e645d)
该半径为a的圆有等于a的曲率半径。
在长轴为2a短轴为2b的椭圆中, 长轴的顶点有该椭圆上最小的曲率半径,
; 并且短轴的顶点有该椭圆上最大的曲率半径 R = a2/b。
令椭圆的曲率半径是关于参数t的方程, 即[4]
![{\displaystyle R(t)={\frac {(b^{2}\cos ^{2}t+a^{2}\sin ^{2}t)^{3/2}}{ab}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea0542e3ed644ecba4be272c119f1d2e9e26971)
其中
令椭圆的曲率半径是关于参数θ的方程, 即
![{\displaystyle R(\theta )={\frac {a^{2}}{b}}{\biggl (}{\frac {1-e^{2}(2-e^{2})(\cos \theta )^{2})}{1-e^{2}(\cos \theta )^{2}}}{\biggr )}^{3/2}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dd712f3c842adba24d8f562bfa400c4867027c8)
其中椭圆的偏心率e, 是
![{\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8337ebf7697f26a88b500118fd6af45709892c6)