- 在這篇文章內,向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,
或
。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,
表示
平方;而
是
的第二個分量。
波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量,其大小表示波数(
),其方向表示波传播的方向。
波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。
正弦波波长λ可以通过测量相位相同的任意相邻两点间的距离得到,这两点可以是相邻的波峰、波谷或是如图所示的零交点。
当波行进时,给定点的值以正弦作正弦振动。
波矢有两种常见的定义,区别在於振幅因子是否乘以
,两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。[1]
物理学定义[编辑]
理想的一维行波遵循如下方程:
![{\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0f38bc5f7ad4aff7dfd6b9d90741e1bda33b32)
其中:
- x为位置;
- t为时间;
(x和t的函数)是对波进行描述的扰动(例如对於海浪,
是超出水面的高度;对於声波,
是超气压);
- A是波的振幅(振动的峰值);
是相位偏移,描述了两个波互相之间不同步的程度;
是波的角频率,描述了在一个给定点波振动的快慢程度;
是波数,与波长成反比,由
求出。
此波在+x方向上行进,相速度为
。
推广到三维情况下,方程为:
![{\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4c1d86d03aa842b908535f724bee8ef673a13d)
其中:
- r是三维空间中的位置矢量;
是矢量点积;
- k是波矢。
这一方程描述了平面波。一维情况下,波矢的大小是角波数
。波矢的方向是平面波行进的方向。
晶体学定义[编辑]
在晶体学中,描述相同的波的方程略有不同。[2]在一维和三维情况下的方程分别为:
![{\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a37d958c2bbe4bb25b5756f4cfe5f0dc207c634)
。
不同点在於:
- 晶体学定义使用了频率
,而不是角频率
,由公式
,二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。
- 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的
,而在物理学定义中,
。
狭义相对论[编辑]
接近单色光的波包可以由波矢
![{\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d01f839411b50ca69255b57289eede0c2fb56a)
准确描述,若明确的改写成共變和反變形式,则
且
。
於是波矢的大小为
![{\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6b9cac9dbfb2b76abc4f251b3244e7e7e0727b)
最後一步等於零是因为对於真空中的光满足
![{\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8eb144e6299b797f54ac4ce1820d54b87cde91c)
洛伦兹变换[编辑]
对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为
。
在光被快速移动的波源激发的情况下,若要在地球坐标系(实验室坐标系)中检定光的频率,就要使用洛伦兹变换,如下所示。注意波源位於坐标系S s,地球位於观测系S obs。
对波矢进行洛伦兹变换得到
。
只考虑
分量的情况,得到
。
因此
|
波源远离观测者[编辑]
当波源径直地远离观测者时,
,方程变为:
。
波源接近观测者[编辑]
当波源径直地接近观测者时,
,方程变为:
。
参考文献[编辑]
- Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.