不可克隆原理(No-cloning theorem)是量子物理的一个重要结论,即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特,而不对原始量子比特产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。
不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输,不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。
为了证明不可克隆原理,我们首先假定,存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。
和
是两个任意的量子状态,我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态
上。我们用一个幺正算符
来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质:
![{\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4db33a67c31f6024968b2db168762e274d0723)
![{\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4fb332c7e15d811bceccb12653fa60f51b3083)
内积
可得出以下两个等式:
![{\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2db2205dcc00ea948250fbbb618a6922b802ee)
![{\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6740a087956ea9f09c2bb28420f7c174ce0f24)
这样便得到了:
![{\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe750a45ab49ef98d99269a062f823d0d880af39)
![{\displaystyle {\to }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab38994a5b11744bc7b26b235c38a65fa57f891)
![{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df6ffff646259c2e1f287e830dd0cb4b0fec08)
因为
,所以得出
![{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f42956d02e208a7f7b086ecb578226f76ae4e28)
这个等式仅有的两个解是
和
。这意味着,要么
(当
),要么
与
正交(当
)。只能够克隆相同或正交的状态,这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆,不可克隆原理证明完毕。
无法从
造出
。
设状态
。
则
把
与
作为输入:
![{\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a144a421a01e2ff2e834e5c955c3476bc929f321)
经过受控反闸,输出:
![{\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb40d0f98e8770e9cd85454f33ce0a94533a2a28)
这与
并不相等,状态没有被复制。
参考文献[编辑]
- W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned (页面存档备份,存于互联网档案馆), Nature 299 (1982), pp. 802–803.
- D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
- V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.