不可複製原理(No-cloning theorem)是量子物理的一個重要結論,即不可能構造一個能夠完全複製任意量子位元,而不對原始量子位元產生干擾的系統。量子力學的線性特徵是這個原理的根本原因。
不可複製原理是量子資訊學的基礎。量子資訊在信道中傳輸,不可能被第三方複製而竊取資訊而不對量子資訊產生干擾。因此這個原理也是量子密碼學的基石。
為了證明不可複製原理,我們首先假定,存在一個系統能夠完全拷貝任意的量子位元。
和
是兩個任意的量子狀態,我們要把這兩個狀態拷貝到另一個與他們完全無關的狀態
上。我們用一個么正算符
來描述這個過程。則這個拷貝算符必須具備以下性質:
![{\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4db33a67c31f6024968b2db168762e274d0723)
![{\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf4fb332c7e15d811bceccb12653fa60f51b3083)
內積
可得出以下兩個等式:
![{\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2db2205dcc00ea948250fbbb618a6922b802ee)
![{\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6740a087956ea9f09c2bb28420f7c174ce0f24)
這樣便得到了:
![{\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe750a45ab49ef98d99269a062f823d0d880af39)
![{\displaystyle {\to }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab38994a5b11744bc7b26b235c38a65fa57f891)
![{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55df6ffff646259c2e1f287e830dd0cb4b0fec08)
因為
,所以得出
![{\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f42956d02e208a7f7b086ecb578226f76ae4e28)
這個等式僅有的兩個解是
和
。這意味著,要麼
(當
),要麼
與
正交(當
)。只能夠複製相同或正交的狀態,這並不是我們最初假設的任意狀態的完全複製,不可複製原理證明完畢。
無法從
造出
。
設狀態
。
則
把
與
作為輸入:
![{\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a144a421a01e2ff2e834e5c955c3476bc929f321)
經過受控反閘,輸出:
![{\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb40d0f98e8770e9cd85454f33ce0a94533a2a28)
這與
並不相等,狀態沒有被複製。
參考文獻[編輯]
- W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Nature 299 (1982), pp. 802–803.
- D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
- V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.