有理函数(英语:Rational function)是可以表示为以下形式的函数:
,
不全为0。
有理数式是多项式除法的商,有时称为代数分数。
渐近线[编辑]
- 不失一般性可假设分子、分母互质。若存在
,使得
是分母
的因子,则有理函数存在垂直渐近线
。
- 若
,有水平渐近线
。
- 若
,有水平渐近线
。
- 若
,有斜渐近线
。
只有一条水平渐近线
泰勒级数[编辑]
有理函数的泰勒级数的系数满足一个线性递归关系。反之,若一个泰勒级数的系数满足一个线性递归关系,它对应的函数是有理函数。
部分分式[编辑]
部分分式,又称部分分数、分项分式,是将有理数式分拆成数个有理数式的技巧。
有理数式可分为真分式、假分式和带分式,这和一般分数中的真分数、假分数和带分数的概念相近。真分式分子的次数少于分母的。
若有理数式
的分母
可分解为数个多项式的积,其部分分数便是
,其中
是
的因子,
是次数不大于Q(x)/h_n(x)的多项式。
- 分拆
![{\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533f8cf8fd72d92435df797b378c1f4d1ba74272)
分子的次数是3,分母的是2,所以先将它转成真分式和多项式的和(即带分式):
因为
,所以
其中A和B是常数。两边乘以
,得
即
比较系数,得
解得
。
故:
也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如,当x=4时,我们有
当x=-7时,我们有
部分分数[编辑]
在计算有理数式的积分时,部分分数的方法很有用,因为分母的1和2次多项式的有理数式的积分都有固定的方法计算。
- 分母为1次多项式:求
。
设
:
![{\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d521777d8ec1f3c28761c36cabfda0c0dbb1335)
![{\displaystyle {\frac {du}{a}}=dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8cf9f13173b06368f8176855796d972274c852)
原式变为
![{\displaystyle \int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d6a3f4cb93b0bce45f3d4d3b53c4cae4faca16)
- 分母次数为2:求
。
若多项式
可分解为两个一次多项式的积(即
),则可用部分分数的方法解决。若多项式不可分解,则将它配方,再用各种替代法解决。
例如:
![{\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219aa2b1cd73698571fa1265f48666f49ded5932)
因为
![{\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29bb2bdc1d2e7f3318477769296f809bfe188013)
考虑
![{\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11680124e620882424431557354ee3daa47ad7e7)
![{\displaystyle du=(2x-8)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54462cca565df2487d8d02e91c3105043cbfa441)
![{\displaystyle du/2=(x-4)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e70ab011c61268f7423a47833cb6d4ee86faf0)
将分子分解,以便应用上面的替换:
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cf25953fefd49cd3ce096aab8c03d21676f7d1)
左边:
![{\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13a3feb118b127873ebb6b153b1661160daab9a1)
另一边:
![{\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a43105985e41b7d4c7852504f9182dfcea1a77a)
代入
![{\displaystyle w=(x-4)/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a0a32107f9e4bcd3229954e21baaad23ef1f0a)
![{\displaystyle dw=dx/3\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12f9836c3d1a9a5e88fbe6977ca1c7868d6ddd6)
![{\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efaef131098fda150662bfb657999262892b0283)
另一种可行的代入方法是:
![{\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e3f9e7ee97c1531b34c450da7b9d97708e5580)
![{\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980685f1afff294f4f1f3ffb877c124b56627e2b)
![{\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2f00ab22588df11fc1965d9d54ac5ff6e2497c4)
奥斯特洛格拉德斯基方法[编辑]
奥斯特洛格拉德斯基方法(Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method)是这样的:
设求积的有理函数为
,其中
是多项式,
(
的次数少于
)。设
为Q的导数Q'和Q的最大公因数,
。则有:
![{\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c972139df065bc79fa47b9945fc4f9fb1c75c96)
其中
为多项式,
。
应用例子[编辑]
- 求
。
![{\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b3bc8a83cfdf0704d3ff25d50b66f43bdbe409)
![{\displaystyle Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc28c4ee47b2434b14e3452dad211cde4ba3769)
![{\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c37e7f1bd77c5f7e0ab769e2d5d9f52f55e71fa)
![{\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70bd5a793509a5a76c00756d827eba546aac857)
设
![{\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/521b810347f4f9161396f5a0da515fcc35891ba5)
两边取导数:
![{\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2d8f98ce7327339aa21af3802d7b202a80f5fa)
通分母,右边的分子为:
![{\displaystyle Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49456a5b854c26f7ce4420b0bff9e3699d9a442f)
比较分子的多项式的系数,得
。于是有
![{\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbea4859a6aa03d5ca2a74df5a88443fcdc1fd81)
后者可用部分分数的方法求得。
![{\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c972139df065bc79fa47b9945fc4f9fb1c75c96)
![{\displaystyle {\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779339702b9ad397fb5fcb613df77aa2ff0b6edf)
两边乘以
![{\displaystyle P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181f26cc0cbd8e8a112634df13961deb94cc414f)
由于
,而
和
都是
的倍数,所以
是多项式。
比较两边多项式的次数:
![{\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eb3dacbe9bd7f3ee972c0b592cd384e2e6fbd6)
![{\displaystyle \deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/869ae4023b9094e1ab19920426e4f92f3edf9e76)
![{\displaystyle \deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2edb50eff6551a6f5f698d76393531b838043ff)
![{\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05de168a1657287812726cd15c2a5406ff6b79d)
因此
有解。
Hermite方法[编辑]