在数学中,阶乘幂(英语:Factorial power)是基于自然数数列积的一种运算,分为递进阶乘(英语:Rising factorial)和递降阶乘(英语:Falling factorial),或称上升阶乘和下降阶乘,
递进阶乘与递降阶乘有多种书写方式。
由里奥·珀赫哈默尔引进的珀赫哈默尔符号(Pochhammer symbol)是常用的一种,分别为
与
。
一种较为少见的写法将递进阶乘记作
。
葛立恒、高德纳与奥伦·帕塔什尼克在《具体数学》一书中,则引进符号
与
。
递进阶乘[编辑]
在组合学和特殊函数理论中,递进阶乘用于表达上升自然数数列的积,定义为
![{\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82f39155017b6fe997c38bc029e4d17b4586ca4)
递降阶乘[编辑]
在组合学中也常用递降阶乘:
![{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8a4c9f810ee4715433c195689264f04ac77cb4)
另外,值得一提的是递降阶乘实际上是排列
,详见排列。
两者的关系[编辑]
递进阶乘与递降阶乘,两者之间的关系为:
![{\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51964a91dcb3d8d83342993eeb00b04354075ab)
它们与阶乘的关系为:
![{\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa654f0c44d7227c649fbe9e46b1bad216208c5)
零次幂[编辑]
零次幂的递进阶乘与递降阶乘都定义为空积 1 :
。
运用伽玛函数,阶乘幂的定义域可以扩展到实数。
递进阶乘的定义变为
![{\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f891e15b93c61183c2646d5440f75449bba668)
递降阶乘则为
![{\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdbdab40a15ba8b6b42e42ca580eb29f393bcfd)
递进阶乘与递降阶乘都能以二项式系数形式表达:
![{\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97027e28fa2838d8c39fcdc8eab57153907bd558)
![{\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437a6f277dd14befe2e921b661cb474c0e8e7f23)
于是二项式系数适用的许多性质都适用于递进阶乘与递降阶乘。
显然,递进阶乘与递降阶乘作为 n 个连续整数的积,它定能被 n 整除,即
;
。
当 n=4 ,递进阶乘与递降阶乘必定能表达为一个完全平方数减1,即
;
。
递进阶乘与递降阶乘遵从一个类似二项式定理的规则:
![{\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f128f622641f543c992dd70eaed8d963a7699a)
![{\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb76040398f2ab3ea74d90bb9d0953d6c0d1b9b)
其中系数为二项式系数。
因为递降阶乘是多项式环的基础,我们可以将递降阶乘的积表示为递降阶乘的线性组合:
![{\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f3863fb9cd8e4f2e426a956a5bb2e1548c3abe)
等式右边的系数则为二项式系数。
一般化[编辑]
阶乘幂能一般化至任意函数和公差:
![{\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd5d3c77292be3f8ccdaaa02eeb6e853ce8d3bd)
![{\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89d36d2c49bc7f16755624a4ccc926d8f5e0ea6)
使用这个记号,原来的递进阶乘与递降阶乘便记作
和
。
与亚微积分的关系[编辑]
差分方程里常使用递降阶乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,递降阶乘
替代微分中的
例如:
![{\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838ef0bc6d2505cfa009ab75aa754a537939ae17)
与
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0184da225a755c38b4ccc4f88132eeb157b94d)
这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。
程序实现[编辑]
Mathematica[编辑]
[1]
参考文献[编辑]
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
- Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .
外部链接[编辑]
- ^ Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].