在數學中,階乘冪(英語:Factorial power)是基於自然數數列積的一種運算,分為遞進階乘(英語:Rising factorial)和遞降階乘(英語:Falling factorial),或稱上升階乘和下降階乘,
遞進階乘與遞降階乘有多種書寫方式。
由里奧·珀赫哈默爾引進的珀赫哈默爾符號(Pochhammer symbol)是常用的一種,分別為
與
。
一種較為少見的寫法將遞進階乘記作
。
葛立恆、高德納與奧倫·帕塔什尼克在《具體數學》一書中,則引進符號
與
。
遞進階乘[編輯]
在組合學和特殊函數理論中,遞進階乘用於表達上升自然數數列的積,定義為
![{\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82f39155017b6fe997c38bc029e4d17b4586ca4)
遞降階乘[編輯]
在組合學中也常用遞降階乘:
![{\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8a4c9f810ee4715433c195689264f04ac77cb4)
另外,值得一提的是遞降階乘實際上是排列
,詳見排列。
兩者的關係[編輯]
遞進階乘與遞降階乘,兩者之間的關係為:
![{\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51964a91dcb3d8d83342993eeb00b04354075ab)
它們與階乘的關係為:
![{\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa654f0c44d7227c649fbe9e46b1bad216208c5)
零次冪[編輯]
零次冪的遞進階乘與遞降階乘都定義為空積 1 :
。
運用伽瑪函數,階乘冪的定義域可以擴展到實數。
遞進階乘的定義變為
![{\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f891e15b93c61183c2646d5440f75449bba668)
遞降階乘則為
![{\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bdbdab40a15ba8b6b42e42ca580eb29f393bcfd)
遞進階乘與遞降階乘都能以二項式係數形式表達:
![{\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97027e28fa2838d8c39fcdc8eab57153907bd558)
![{\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437a6f277dd14befe2e921b661cb474c0e8e7f23)
於是二項式係數適用的許多性質都適用於遞進階乘與遞降階乘。
顯然,遞進階乘與遞降階乘作為 n 個連續整數的積,它定能被 n 整除,即
;
。
當 n=4 ,遞進階乘與遞降階乘必定能表達為一個完全平方數減1,即
;
。
遞進階乘與遞降階乘遵從一個類似二項式定理的規則:
![{\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7f128f622641f543c992dd70eaed8d963a7699a)
![{\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb76040398f2ab3ea74d90bb9d0953d6c0d1b9b)
其中係數為二項式係數。
因為遞降階乘是多項式環的基礎,我們可以將遞降階乘的積表示為遞降階乘的線性組合:
![{\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f3863fb9cd8e4f2e426a956a5bb2e1548c3abe)
等式右邊的係數則為二項式係數。
一般化[編輯]
階乘冪能一般化至任意函數和公差:
![{\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd5d3c77292be3f8ccdaaa02eeb6e853ce8d3bd)
![{\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89d36d2c49bc7f16755624a4ccc926d8f5e0ea6)
使用這個記號,原來的遞進階乘與遞降階乘便記作
和
。
與亞微積分的關係[編輯]
差分方程里常使用遞降階乘。其應用與微積分學中的泰勒定理非常相似,不過將微分替換為對應的差分。只是在差分中,遞降階乘
替代微分中的
例如:
![{\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838ef0bc6d2505cfa009ab75aa754a537939ae17)
與
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0184da225a755c38b4ccc4f88132eeb157b94d)
這種相似性在數學中稱為亞微積分。亞微積分涵蓋如多項式的二項式型和謝費爾序列。
程序實現[編輯]
Mathematica[編輯]
[1]
參考文獻[編輯]
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
- Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .
外部連結[編輯]
- ^ Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].