理想(Ideal)是一個環論中的概念。
若某環的子集為在原環加法的定義下的子群,且其中的元素在原環乘法下與任意原環中的元素結果都在該子群中,則稱其為原環的理想。
通俗地說,一環的理想在加法上成群且在乘法上表現如同一個黑洞。
理想把整數的某些子集,例如偶數或3的倍數組成的集合給一般化了。兩個偶數相加或相減結果仍是偶數,偶數與任意整數相乘的結果也仍是偶數;這些閉包和吸收的性質正是理想的定義。理想可以被用來構造商環,這類似於在群論里,正規子群可以被用來構造商群。
恩斯特·庫默爾提出了理想數的概念,以此作為那些不具有唯一因子分解的數環的「缺失」的因子。「理想」在這裏的意思是它只存在於想像中,可以類比在幾何中那些「理想」的幾何物件,比如無窮遠處的點。[1]隨後在1876年,理查德·戴德金在狄利克雷的數論講義書的第三版中用被稱為「理想」的數的集合代替了庫默爾之前未定義的概念。[1][2][3]之後這個概念被大衛·希爾伯特和艾米·諾特從數環拓展到了多項式環以及其他交換環上。
環(R,+,·),已知(R, +)是阿貝爾群。R的子集I稱為R的一個右理想,若I滿足:
- (I, +)構成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I,r ∈ R,i·r ∈ I。
類似地,I稱為R的左理想,若以下條件成立:
- (I, +)構成(R, +)的子群。
- ∀i ∈ I,r ∈ R,r·i ∈ I。
若I既是R的右理想,也是R的左理想,則稱I為R的雙邊理想,簡稱R上的理想。
- 在環中,(左或右)理想的交和並仍然是(左或右)理想。
- 對於R的兩個理想A,B,記。按定義不難證明:
- 如果A是R的左理想,則AB是R的左理想。
- 如果B是R的右理想,則AB是R的右理想。
- 如果A是R的左理想,B是R的右理想,則AB是R的雙邊理想。
- ∀a,b ∈ I,a - b∈I。
- ∀a ∈ I, r ∈ R,則a·r∈ I。
- 除環的理想:除環中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
如果 是環 的一個非空子集,令 , 其中
則 是環 的理想,這個理想稱為 中由 生成的理想, 稱為生成元集。同群的生成子群類似, 是 中所有包含 的理想的交,因此是 中包含 的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況:
- 當 是交換環時,;
- 當 是有單位元的環時,;
- 當 是有單位元的交換環時,.
設集合A = {a1,a2,...,an},則記<A> = <a1,a2,...,an>,稱是有限生成理想。特別當是單元素集時,稱為環R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的,如。的一般形式是:
-
- 性質:
- 幾類特殊環中的主理想:
- 如果是交換環,則
- 如果是有單位元的環,則
- 如果是有單位元的交換環,則
- 真理想:若I是環R的理想,且I是R的真子集,I稱為R的真理想。
- 極大理想:環R的一個真理想I被稱為R的極大理想,若不存在其他真理想J,使得I是J的真子集。
- 極大左理想:設I是環R的左理想,若I ≠ R並且在I與R之間不存在真的左理想,則稱I是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關係:
- 如果I是極大左理想,又是雙邊理想,則I是極大理想。
- 極大理想未必是極大左理想。
- 單環:在么環中,若零理想是其極大理想,稱該環為單環。
- 在整數環Z中,由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是:p是質數。
- 設R是有單位元1的交換環。理想I是R的極大理想的充分且必要條件是:商環R / I是域。
- 設I是環R的左理想,則I是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在I中的左理想J都有I+J=R。
- 質理想:環R的真理想I被稱為質理想,若∀R上的理想A,B,有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
- 質環:若環R的零理想是質理想,則稱R是質環(或質環)。
- 無零因子環是質環。
- 在交換環R中,真理想I是質理想的充要條件是:R / I是質環。
- 准質理想:環R的真理想I。若∀R上的理想P,有P2 ⊆ I ⇒ P ⊆ I,稱I是R的准質理想。
- 准質理想是一類比質理想相對較弱的理想。質理想是准質理想,反之不成立。
- Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge. Undergraduate Algebra Third. Springer-Verlag. 2005. ISBN 978-0-387-22025-3.
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Milnor, John Willard, Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1971, MR 0349811, Zbl 0237.18005
- ^ 1.0 1.1 John Stillwell. Mathematics and its history. 2010: 439.
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