薛福輔理

薛福輔理（Shephard's lemma）是微觀經濟學中的一個重要結論，在生產者理論和消費者理論等領域中都有所應用。

具體描述

在消費者理論中，薛福輔理指出，對於給定的功用水平 $u$ 和給定的各產品價格 $\mathbf {p}$ ，某種產品 $i$ 的需求量恰等於支出函數對其價格求偏導的結果：

h_{i}(\mathbf {p} ,u)={\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{i}}}

，

其中 $h_{i}(\mathbf {p} ,u)$ 為產品 $i$ 的Hicks需求函數（英語：Hicksian demand function）， $e(\mathbf {p} ,u)$ 為消費者的支出函數。

通過帶等式約束的包絡定理即可證明：

{\frac {\partial {e}}{\partial {p_{i}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {p_{i}}}}=x_{i}^{h}

，

其中 ${\mathcal {L}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} +\lambda (u-U(\mathbf {x} ))$ 為拉格朗日乘數， $x_{i}^{h}$ 為使支出最小的需求量，也即Hicks需求函數。