巴蘇定理

在統計學中，巴蘇定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分統計量與任何輔助統計量獨立。 這是Debabrata Basu於1955年發現的結論。

定理陳述

設$P_{\theta }$是可測空間$(X,\Sigma )$上的一族分佈。如果$T$是$\theta$的充分且有界完全的統計量，$A$是關於$\theta$的輔助統計量，那麼$T$獨立於$A$。

證明

對任意博雷爾集$B$，構造函數$h_{B}(T)\equiv P_{\theta }(A\in B|T)-P_{\theta }(A\in B)$。注意到記號$h_{B}$是合理的，因為這一函數不取決於$\theta$。第一項不取決於$\theta$是因為$T$的充分性，第二項不取決於$\theta$是因為$A$是關於$\theta$的輔助統計量。注意到$h_{B}$有界並且期望值為0。因此，$T$的有界完全性保證了$h_{B}$幾乎處處為0。由於$B$可以是任意博雷爾集，定理得證。

例子

正態分佈（方差已知）的樣本期望值獨立於樣本方差

讓 X₁, X₂,..., X_n 是獨立同分佈的正態分佈隨機變量，其中方差$\sigma ^{2}$已知，均值$\mu$未知。

關於參數$\mu$，可以證明樣本均值

${\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},$

是充分完全統計量，並且樣本方差

${\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},$

是輔助統計量，即其分佈並不依賴於$\mu$。

因此，巴蘇定理指出二者獨立。

儘管上述證明是藉助方差已知均值未知的正態分佈模型完成的，這一結論並不只在該情況下成立。實際上，無論方差或均值已知與否，正態分佈的樣本均值和樣本方差都是獨立的。更進一步，正態分佈是唯一具有這一性質的分佈。