下推自动机

在自动机理论中，下推自动机（英语：Pushdown automaton）是使用了包含数据的栈的有限自动机。

综述

下推自动机比有限自动机复杂：除了有限状态组成部分外，还包括一个长度不受限制的栈；下推自动机的状态迁移不但要参考有限状态部分，也要参照栈当前的状态；状态迁移不但包括有限状态的变迁，还包括一个栈的出栈或入栈过程。下推自动机可以形象的理解为，借由加上读取一个容量无限栈的能力，扩充一个能做$\epsilon$-转移的非确定有限自动机。

下推自动机存在“确定”与“非确定”两种形式，两者并不等价。（对有限自动机两者是等价的）

每一个下推自动机都接受一个形式语言。被“非确定下推自动机”接受的语言是上下文无关语言。

如果我们把下推自动机扩展，允许一个有限自动机存取两个栈，我们得到一个能力更强的自动机，这个自动机与图灵机等价。

下推自动机作为一个形式系统最早于1961年出现在 Oettinger 的论文中。它与上下文无关文法的等价性是由乔姆斯基于1962年发现的。

形式定义

PDA 形式定义为 6-元组：

$M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$ 这里的

• $\,Q$ 是状态的有限集合
• $\,\Sigma$ 是输入字母表的有限集合
• $\,\Gamma$ 是栈字母表的有限集合
• $\,\delta$: $Q\times \Sigma _{\epsilon }\times \Gamma _{\epsilon }\longrightarrow {\mathcal {P}}(Q\times \Gamma _{\epsilon })$ 是转移函数
• $q_{0}$ 是“开始状态”
• $F\subset Q$ 是“接受状态”的集合
• $\Gamma _{\epsilon }=\Gamma \cup \{\epsilon \}$
• $\Sigma _{\epsilon }=\Sigma \cup \{\epsilon \}$

计算定义 1

对于任何 PDA $M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$，计算路径是一个有序的（n+1）-元组 $(q_{0},\,q_{1},....,\,q_{n})$，这里的 $q_{i}\in Q,n\geq 0$，它满足如下条件：

(i) $\ \ (q_{i+1},b_{i+1})\in \delta (q_{i},w_{i+1},a_{i+1})$ 对于 i = 0, 1, 2,......, n-1,

这里的 $w_{i+1}\in \Sigma _{\epsilon },\ a_{i+1},\ b_{i+1}\in \Gamma _{\epsilon }$

(ii) $\exists \,s_{0},\,s_{1},\,s_{2},\,s_{3},\,\cdots ,\,s_{n}\,\in \Gamma ^{*}$ 使得

$s_{i}=a_{i+1}t_{i},\,s_{i+1}=b_{i+1}t_{i},\,t_{i}\in \Gamma ^{*}$

在直觉上，PDA 在计算过程中任何一点上都面对着多种可能性，从栈顶读一个符号并把它替代为另一个符号，从栈顶读一个符号并删除它而不替换，不从栈顶读任何符号但压入另一个符号进去，或什么都不做。所有这些都同时由等式 $s_{i}=a_{i+1}t_{i}\,$ 和 $s_{i+1}=b_{i+1}t_{i}\,$ 来支配。$s_{i}\,$ 是紧接在第 i+1 次转移移动之前的栈内容，而 $a_{i+1}\,$ 是要从栈顶去除的符号。$s_{i+1}\,$ 是紧接在第 i+1 次转移移动之后栈内容，而 $b_{i+1}\,$ 是在第 i+1 次转移移动期间要增加到栈上的符号。

$a_{i+1}\,$ 和 $b_{i+1}\,$ 二者都可以 $\epsilon \,$。

如果 $a_{i+1}\neq \epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq \epsilon \,$，则 PDA 从栈读一个符号并把它替代为另一个符号。

如果 $a_{i+1}\neq \epsilon \,$ 而 $b_{i+1}=\epsilon \,$，则 PDA 从栈读一个符号并删除它而不替换。

如果 $a_{i+1}=\epsilon \,$ 而 $b_{i+1}\neq \epsilon \,$，则 PDA 简单的增加一个符号到栈上。

如果 $a_{i+1}=\epsilon \,$ 而 $b_{i+1}=\epsilon \,$，则 PDA 保持栈不变动。

注意当 n=0 时，计算路径就是单元素集合 $(q_{0})\,$。

计算定义 2

对于任何输入 $w=w_{1}w_{2}\cdots w_{m},\ w_{i}\in \Sigma ,m\geq 0$，M 接受 w，如果存在计算路径 $(q_{0},\,q_{1},....,\,q_{n})\,$ 和有限序列 $r_{0},r_{1},r_{2},\cdots r_{m}\in Q,\ m\leq n$，使得

(i) 对于每个 i = 0, 1, 2,...m，$r_{i}\,$ 都在计算路径上。就是说

$\exists f(i)$ 这里的 $i\leq f(i)\leq n$ 使得 $r_{i}=q_{f(i)}\,$

(ii) $(q_{f(i)+1},b_{f(i)+1})\in \delta (r_{i},w_{i+1},a_{f(i)+1})$ 对于每个 i = 0, 1, 2,...m-1。

这里的 $a_{f(i)+1}\,$ 和 $b_{f(i)+1}\,$ 定义同于计算定义 1。

(iii) $(q_{j+1},b_{j+1})\in \delta (q_{j},\epsilon ,a_{j+1})$，如果 $q_{j}\notin \{r_{0},r_{1},\cdots r_{m}\}$

这里的 $a_{j+1}\,$ 和 $b_{j+1}\,$ 定义同于计算定义 1。

(iv) $r_{m}=q_{n}\,$ 且 $r_{m}\in F$

注意上述定义不提供测试空栈的机制。要这么做你需要在所有计算开始前在栈上写一个特殊符号，使得 PDA 可以在检测到这个符号的时候有效的识别出栈已经空了。形式的说，实现它可通过介入转移 $\delta (q_{0},\epsilon ,\,\epsilon )=\{(q_{1},\$)\}$这里的 $ 是特殊符号。

例子

下面是识别语言 $\{0^{n}1^{n}|n\geq 0\}$ 的 PDA 的形式描述：

$M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{1},\ F)$

• $Q=\{q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\}\,$

• $\Sigma =\{0,1\}\,$

• $\Gamma =\{0,\$\}\,$

• $F=\{q_{1},q_{4}\}\,$

• $\delta (q_{1},\epsilon ,\epsilon )=\{(q_{2},\$),(q_{1},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{2},0,\epsilon )=\{(q_{2},0)\}\,$

• $\delta (q_{2},1,0)=\{(q_{3},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{3},1,0)=\{(q_{3},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q_{3},\epsilon ,\$)=\{(q_{4},\epsilon )\}\,$

• $\delta (q,w,a)=\varnothing$ 对于任何其他状态、输入和栈符号的值。

理解计算过程

下面展示上述 PDA 如何计算不同的输入字符串。

(a) 输入字符串 = 0011

(i) 写 $\delta$(q₁, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, $) 来表示 (q₂, $) $\in$ $\delta$(q₁, $\epsilon$, $\epsilon$)

s₀ = $\epsilon$, s₁ = $, t = $\epsilon$, a = $\epsilon$, b = $

设置 r₀ = q₂

(ii) $\delta$(r₀, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q₂, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, 0)

s₁ = $, a = $\epsilon$, t = $, b = 0, s₂ = 0$

设置 r₁ = q₂

(iii) $\delta$(r₁, 0, $\epsilon$) = $\delta$(q₂, 0, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₂, 0)

s₂ = 0$, a = $\epsilon$, t = 0$, b = 0, s₃ = 00$

设置 r₂ = q₂

(iv) $\delta$(r₂, 1, 0) = $\delta$(q₂, 1, 0) $\rightarrow$ (q₃, $\epsilon$)

s₃ = 00$, a = 0, t = 0$, b = $\epsilon$, s₄ = 0$

设置 r₃ = q₃

(v) $\delta$(r₃, 1, 0) = $\delta$(q₃, 1, 0) $\rightarrow$ (q₃, $\epsilon$)

s₄ = 0$, a = 0, t = $, b = $\epsilon$, s₅ = $

(vi) $\delta$(q₃, $\epsilon$, $) $\rightarrow$ (q₄, $\epsilon$)

s₅ = $, a = $, t = $\epsilon$, b = $\epsilon$, s₆ = $\epsilon$

设置 r₄ = q₄

因为 q₄ 是接受状态，0011 被接受。

作为总结，计算路径 = (q₁, q₂, q₂, q₂, q₃, q₃, q₄)

而 (r₀, r₁, r₂, r₃, r₄) = (q₂, q₂, q₂, q₃, q₄)

(b) 输入字符串 = 001

计算移动 (i), (ii), (iii), (iv) 将必定同于情况 (a)，否则，PDA 在到达 (v) 之前就已经进入死胡同。

(v) $\delta$(r₃, $\epsilon$, a) = $\delta$(q₃, $\epsilon$, a)

因为 s₄ = 0$，要么 a = $\epsilon$ 要么 a = 0

在任何一种情况下，$\delta$(q₃, $\epsilon$, a) = $\varnothing$

因此计算在 r₃ = q₃ 进入死胡同，这不是接受状态。所以 001 被拒绝。

(c) 输入字符串 = $\epsilon$

设置 r₀ = q₁, r₁ = q₁

$\delta$(r₀, $\epsilon$, $\epsilon$) $\rightarrow$ (q₁, $\epsilon$)

因为 q₁ 是接受状态，$\epsilon$ 被接受。

广义下推自动机(GPDA)

GPDA 是在一个步骤内写入整个字符串到栈上或从栈上去除整个字符串的 PDA。

GPDA 形式定义为 6-元组 $M=(Q,\ \Sigma ,\ \Gamma ,\ \delta ,\ q_{0},\ F)$

这里的 Q, $\Sigma \,$, $\Gamma \,$, q₀ 和 F 的定义同于 PDA。

$\,\delta$: $Q\times \Sigma _{\epsilon }\times \Gamma ^{*}\longrightarrow {\mathcal {P}}(Q\times \Gamma ^{*})$ 是转移函数。

GPDA 的计算规则同于 PDA，除了 a_i+1 和 b_i+1 现在是字符串而不是符号之外。

GPDA 和 PDA 是等价的，如果一个语言可被一个 PDA 识别，它也可被一个 GPDA 识别，反之亦然。

可以使用下列模拟公式化对 GPDA 和 PDA 的等价性的一个分析式证明：

设 $\delta$(q₁, w, x₁x₂...x_m) $\longrightarrow$ (q₂, y₁y₂...y_n) 是 GPDA 的转移。

这里的 q₁, q₂ $\in$ Q, w $\in \Sigma _{\epsilon }\,$, x₁x₂...x_m $\in \Gamma ^{*}$, m$\geq$0, y₁y₂...y_n $\in \Gamma ^{*}$, n$\geq$0。

构造 PDA 的下列转移：

$\delta ^{'}$(q₁, w, x₁) $\longrightarrow$ (p₁, $\epsilon$)

$\delta ^{'}$(p₁, $\epsilon$, x₂) $\longrightarrow$ (p₂, $\epsilon$)

$\vdots$

$\delta ^{'}$(p_m-1, $\epsilon$, x_m) $\longrightarrow$ (p_m, $\epsilon$)

$\delta ^{'}$(p_m, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (p_m+1, y_n)

$\delta ^{'}$(p_m+1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (p_m+2, y_n-1)

$\vdots$

$\delta ^{'}$(p_m+n-1, $\epsilon$, $\epsilon$ ) $\longrightarrow$ (q₂, y₁)

参见

• 堆叠结构机器
• 确定下推自动机
• 有限自动机
• 上下文无关文法

外部链接

• non-deterministic pushdown automaton, on Planet Math.
• JFLAP（页面存档备份，存于互联网档案馆），simulator for several types of automata including nondeterministic pushdown automata

参考书目

• 《自动机理论、语言和计算导引》，John E. Hopcroft，Jeffery D. Ullman，徐美瑞译，洪加威校，科学出版社，1986年
• Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6.  Section 2.2: Pushdown Automata, pp.101–114.