在自動機理論中,下推自動機(英語:Pushdown automaton)是使用了包含數據的棧的有限自動機。
下推自動機比有限自動機複雜:除了有限狀態組成部分外,還包括一個長度不受限制的棧;下推自動機的狀態遷移不但要參考有限狀態部分,也要參照棧當前的狀態;狀態遷移不但包括有限狀態的變遷,還包括一個棧的出棧或入棧過程。下推自動機可以形象的理解為,藉由加上讀取一個容量無限棧的能力,擴充一個能做-轉移的非確定有限自動機。
下推自動機存在「確定」與「非確定」兩種形式,兩者並不等價。(對有限自動機兩者是等價的)
每一個下推自動機都接受一個形式語言。被「非確定下推自動機」接受的語言是上下文無關語言。
如果我們把下推自動機擴展,允許一個有限自動機存取兩個棧,我們得到一個能力更強的自動機,這個自動機與圖靈機等價。
下推自動機作為一個形式系統最早於1961年出現在 Oettinger 的論文中。它與上下文無關文法的等價性是由喬姆斯基於1962年發現的。
PDA 形式定義為 6-元組:
這裡的
- 是狀態的有限集合
- 是輸入字母表的有限集合
- 是棧字母表的有限集合
- : 是轉移函數
- 是「開始狀態」
- 是「接受狀態」的集合
計算定義 1
對於任何 PDA ,計算路徑是一個有序的(n+1)-元組 ,這裡的 ,它滿足如下條件:
(i) 對於 i = 0, 1, 2,......, n-1,
- 這裡的
(ii) 使得
在直覺上,PDA 在計算過程中任何一點上都面對著多種可能性,從棧頂讀一個符號並把它替代為另一個符號,從棧頂讀一個符號並刪除它而不替換,不從棧頂讀任何符號但壓入另一個符號進去,或什麼都不做。所有這些都同時由等式 和 來支配。 是緊接在第 i+1 次轉移移動之前的棧內容,而 是要從棧頂去除的符號。 是緊接在第 i+1 次轉移移動之後棧內容,而 是在第 i+1 次轉移移動期間要增加到棧上的符號。
和 二者都可以 。
如果 而 ,則 PDA 從棧讀一個符號並把它替代為另一個符號。
如果 而 ,則 PDA 從棧讀一個符號並刪除它而不替換。
如果 而 ,則 PDA 簡單的增加一個符號到棧上。
如果 而 ,則 PDA 保持棧不變動。
注意當 n=0 時,計算路徑就是單元素集合 。
計算定義 2
對於任何輸入 ,M 接受 w,如果存在計算路徑 和有限序列 ,使得
(i) 對於每個 i = 0, 1, 2,...m, 都在計算路徑上。就是說
- 這裡的 使得
(ii) 對於每個 i = 0, 1, 2,...m-1。
- 這裡的 和 定義同於計算定義 1。
(iii) ,如果
- 這裡的 和 定義同於計算定義 1。
(iv) 且
注意上述定義不提供測試空棧的機制。要這麼做你需要在所有計算開始前在棧上寫一個特殊符號,使得 PDA 可以在檢測到這個符號的時候有效的識別出棧已經空了。形式的說,實現它可通過介入轉移 這裡的 $ 是特殊符號。
下面是識別語言 的 PDA 的形式描述:
- 對於任何其他狀態、輸入和棧符號的值。
下面展示上述 PDA 如何計算不同的輸入字符串。
(a) 輸入字符串 = 0011
- (i) 寫 (q1, , ) (q2, $) 來表示 (q2, $) (q1, , )
- s0 = , s1 = $, t = , a = , b = $
- 設置 r0 = q2
- (ii) (r0, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)
- s1 = $, a = , t = $, b = 0, s2 = 0$
- 設置 r1 = q2
- (iii) (r1, 0, ) = (q2, 0, ) (q2, 0)
- s2 = 0$, a = , t = 0$, b = 0, s3 = 00$
- 設置 r2 = q2
- (iv) (r2, 1, 0) = (q2, 1, 0) (q3, )
- s3 = 00$, a = 0, t = 0$, b = , s4 = 0$
- 設置 r3 = q3
- (v) (r3, 1, 0) = (q3, 1, 0) (q3, )
- s4 = 0$, a = 0, t = $, b = , s5 = $
- (vi) (q3, , $) (q4, )
- s5 = $, a = $, t = , b = , s6 =
- 設置 r4 = q4
- 因為 q4 是接受狀態,0011 被接受。
- 作為總結,計算路徑 = (q1, q2, q2, q2, q3, q3, q4)
- 而 (r0, r1, r2, r3, r4) = (q2, q2, q2, q3, q4)
(b) 輸入字符串 = 001
- 計算移動 (i), (ii), (iii), (iv) 將必定同於情況 (a),否則,PDA 在到達 (v) 之前就已經進入死胡同。
- (v) (r3, , a) = (q3, , a)
- 因為 s4 = 0$,要麼 a = 要麼 a = 0
- 在任何一種情況下,(q3, , a) =
- 因此計算在 r3 = q3 進入死胡同,這不是接受狀態。所以 001 被拒絕。
(c) 輸入字符串 =
- 設置 r0 = q1, r1 = q1
- (r0, , ) (q1, )
- 因為 q1 是接受狀態, 被接受。
GPDA 是在一個步驟內寫入整個字符串到棧上或從棧上去除整個字符串的 PDA。
GPDA 形式定義為 6-元組
- 這裡的 Q, , , q0 和 F 的定義同於 PDA。
- : 是轉移函數。
GPDA 的計算規則同於 PDA,除了 ai+1 和 bi+1 現在是字符串而不是符號之外。
GPDA 和 PDA 是等價的,如果一個語言可被一個 PDA 識別,它也可被一個 GPDA 識別,反之亦然。
可以使用下列模擬公式化對 GPDA 和 PDA 的等價性的一個分析式證明:
設 (q1, w, x1x2...xm) (q2, y1y2...yn) 是 GPDA 的轉移。
這裡的 q1, q2 Q, w , x1x2...xm , m0, y1y2...yn , n0。
構造 PDA 的下列轉移:
- (q1, w, x1) (p1, )
- (p1, , x2) (p2, )
- (pm-1, , xm) (pm, )
- (pm, , ) (pm+1, yn)
- (pm+1, , ) (pm+2, yn-1)
- (pm+n-1, , ) (q2, y1)
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每個語言範疇都是其直接上面的範疇的真子集 每個語言範疇內的語言都可以用同一行的文法和自動機表示 |