普洛尼克数

在数学中，普洛尼克数（pronic number），也叫矩形数（oblong number），是两个连续非负整数积，即 $n\times (n+1)$ 。第n个普洛尼克数都是n的三角形数的两倍。开头的几个普洛尼克数是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS数列A002378）

性质

普洛尼克数也可以表达成 $n^{2}+n$ 。
对于第n个普洛尼克数也正好等于头n个偶数的和，也是第n个三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数不可能是奇数，因为它必须为一偶数与奇数之积，而且是三角形数的两倍。^[1]
普洛尼克数的数字根必为2、3、6、9。^{[注 1]}
普洛尼克数的末位数只可能是0、2、6。^{[注 2]}
除了0以外，普洛尼克数也不可能是平方数^{[注 3]}。
除了0以外，普洛尼克数也不可能是次方数。^{[来源请求]}^{[查证请求]}^{[原创研究？]}
除了6以外，普洛尼克数也不可能是完全数。^{[来源请求]}^{[查证请求]}^{[原创研究？]}
一个非负整数是普洛尼克数，当且仅当此数的4倍加1是平方数。^{[注 4]}
连续两个普洛尼克数的平均是平方数。^{[注 5]}
显然，2是唯一的一个素普洛尼克数，也是斐波那契数列中唯二的普洛尼克数（另一个是0）^[2]。

特殊的普洛尼克数

同时为普洛尼克数及三角形数的数（不定方程 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的几个为0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3]^[4]，对应的 $x$ 值分别为0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS数列A053141），对应的 $y$ 值分别为0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS数列A001652）。

注释

^
若n≡0 (mod 9)，则n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得证。
^
若n≡0 (mod 10)，则n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得证。
^ 因为n与(n+1)差1，所以两数互素，故若n×(n+1)为平方数，则n与(n+1)也皆为平方数，2个平方数差1，则必为0与1，因此唯一的普洛尼克数兼平方数为0=0×1。
^ 普洛尼克数 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²
^ 两个相邻的普洛尼克数 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

参考资料

^ ^1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英语：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始内容存档于2016-05-08） .
^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始内容存档 (PDF)于2020-09-29）
^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始内容存档于2021-02-25）.

[2] 若n≡0 (mod 9)，则n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得证。

[2] 若n≡1 (mod 9)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

[3] 若n≡2 (mod 9)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

[4] 若n≡3 (mod 9)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

[5] 若n≡4 (mod 9)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

[6] 若n≡5 (mod 9)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

[7] 若n≡6 (mod 9)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

[8] 若n≡7 (mod 9)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

[9] 若n≡8 (mod 9)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

[3] 若n≡0 (mod 10)，则n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得证。

[11] 若n≡1 (mod 10)，则n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

[12] 若n≡2 (mod 10)，则n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

[13] 若n≡3 (mod 10)，则n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

[14] 若n≡4 (mod 10)，则n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

[15] 若n≡5 (mod 10)，则n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

[16] 若n≡6 (mod 10)，则n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

[17] 若n≡7 (mod 10)，则n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

[18] 若n≡8 (mod 10)，则n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

[19] 若n≡9 (mod 10)，则n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

[4] 因为n与(n+1)差1，所以两数互素，故若n×(n+1)为平方数，则n与(n+1)也皆为平方数，2个平方数差1，则必为0与1，因此唯一的普洛尼克数兼平方数为0=0×1。

[5] 普洛尼克数 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²

[6] 两个相邻的普洛尼克数 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

[knorr-1] 1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英语：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始内容存档于2016-05-08） .

[7] McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始内容存档 (PDF)于2020-09-29）

[8] Sloane, N.J.A. (编). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[9] ronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始内容存档于2021-02-25）.

[1]

[注 1]

[注 2]

[注 3]

[注 4]

[注 5]

[2]

[3]

[4]

查论编有形数
多边形数	三角形数四边形数五边形数六边形数七边形数八边形数九边形数十边形数十二边形数
多面体数	四面体数六面体数八面体数
锥体数	三角锥数四角锥数五角锥数六角锥数七角锥数
中心多边形数	中心三角形数中心四边形数中心五边形数中心六边形数中心七边形数中心十二边形数
中心多面体数	中心四面体数中心六面体数中心八面体数
多胞体数	1-多胞体数 2-多胞体数 3-多胞体数 4-多胞体数
星数	五角星数六角星数七角星数八角星数六角星素数
其他有形数	平方数立方数四次方数五次方数六次方数三角平方数梯形数普洛尼克数
其他	费马多边形数定理四平方和定理五边形数定理

查论编和约数有关的整数分类
简介	素因数分解约数元约数除数函数素因数算术基本定理
依约数分解分类	素数合数半素数普洛尼克数楔形数无平方数因数的数幂数素数幂平方数立方数次方数阿喀琉斯数光滑数正规数粗糙数不寻常数
依约数和分类	完全数殆完全数准完全数多重完全数 Hemiperfect数 Hyperperfect number（英语：Hyperperfect number）超完全数元完全数半完全数本原半完全数实际数
有许多约数	过剩数本原过剩数高过剩数超过剩数可罗萨里过剩数高合成数 Superior highly composite number（英语：Superior highly composite number）奇异数
和真因子和数列有关	不可及数相亲数交际数婚约数
其他	亏数友谊数孤独数卓越数欧尔调和数佩服数节俭数等数位数奢侈数