派克变换(也译作帕克变换,英语:Park's Transformation),是目前分析同步电动机运行最常用的一种坐标变换,由美国工程师派克(R.H.Park)在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴(d轴),交轴(q轴)与垂直于dq平面的零轴(0轴)上去,从而实现了对定子电感矩阵的对角化,对同步电动机的运行分析起到了简化作用。
派克正变换:
![{\displaystyle {\mathbf {i} }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {i} }_{abc}={\frac {2}{3}}\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{-\sin \theta }&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{a}}\\{i_{b}}\\{i_{c}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc514e784707d7fedc95069476f8c414847ed625)
逆变换:
![{\displaystyle {\mathbf {i} }_{abc}={\mathbf {P} }^{-1}{\mathbf {i} }_{dq0}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{-\sin \theta }&1\\{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&1\\{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&1\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{d}}\\{i_{q}}\\{i_{0}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd8540eabdce71a6e8c75e591af178d463607aa)
派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上:
,
几何解释[编辑]
上图描绘了派克变换的几何意义,定子三相电流互成120度角,
为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。(图中的比例系数
是由于图中所采用的是正交形式的派克变换)d-q坐标系在空间中以角速度
逆时针旋转,故
以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时,
,
为直流电流,
。
用派克变换化简同步发电机基本方程[编辑]
变换后的磁链方程[编辑]
磁链方程:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{abc}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3082ab58d5960db03ce9a599186fed5fdb8b9d6)
上式中的电感系数矩阵
事实上都含有随时间变化的角度参数[1],使得方程求解困难。
现对等式两边同时左乘
,其中
为三阶单位矩阵。方程化为:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P} }^{-1}}&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9b4e3ae27b9ae490ae4f54cf60f428586129e6)
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {PL} }_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {PL} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e199174f7ee7601d08f8cf72dd7d401960aec01c)
其中
。
① 变换后的电感系数都变为常数,可以假想dd绕组,qq绕组是固定在转子上的,相对转子静止。
② 派克变换阵对定子自感矩阵
起到了对角化的作用,并消去了其中的角度变量。
为其特征根。
③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称,这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵。
④
为直轴同步电感系数,其值相当于当励磁绕组开路,定子合成磁势产生单纯直轴磁场时,任意一相定子绕组的自感系数。
变换后的电压方程[编辑]
电压方程:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{abc}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994e7b049c1e4454e7f6e21b13cd239e984a31e3)
现对等式两边同时左乘
,其中
为三阶单位矩阵。方程化为:
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c8f36019019e52cd5b727ccf24a328625a14ba)
由
,
对两边求导,得
,
所以
其中
,令
于是有
上式右边第一项为绕组电阻的压降,第二项为变压器电势,第三项为发电机电势或旋转电势。
- ^ 定子电感矩阵
,
其中
![{\displaystyle L_{aa}=l_{0}+l_{2}\cos \left(2\theta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d095f8c18f1e56392ecb98d79447c109ef8b4d5)
![{\displaystyle L_{bb}=l_{0}+l_{2}\cos 2\left({\theta -120^{\circ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4c8e7142b9ab890b94c643099b436b4a12c5b1)
![{\displaystyle L_{cc}=l_{0}+l_{2}\cos 2\left({\theta +120^{\circ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6f8c64e7bf0172e3fa8fecab3640e0381cd42a)
![{\displaystyle M_{ab}=M_{ba}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta +30^{\circ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c01fba74bfd7588db18d619bd32f6ee5fcfb1f7)
![{\displaystyle M_{bc}=M_{cb}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta -90^{\circ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce282107917eb0ee89197b052c6ef401d08e996)
![{\displaystyle M_{ca}=M_{ac}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta +150^{\circ }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3c9fef1e5688fccf1377515dda9edc9d2728ba)
参考书目[编辑]