余弦

余弦

性质
奇偶性	偶
定义域	(-∞,∞)
到达域	[-1,1]
周期	$2\pi$ （360°）
特定值
当x=0	1
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	(2 $k\pi$ , 1) $(360° k, 1)$
最小值	( $\left(2k+1\right)\pi$ , -1) $(360° k +180°, -1)$
其他性质
渐近线	N/A
根	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
临界点	$k\pi$ （ $180^{\circ }k$ ）
拐点	$k\pi -{\tfrac {\pi }{2}}$ （ $180^{\circ }k-90^{\circ }$ ）
不动点	x轴为弧度时： 0.7390851332152... （42.3464588340929...°） x轴为角度时： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）
k是一个整数。

余弦（cosine）是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是 $[-1,1]$ 。它是周期函数，其最小正周期为 $2\pi$ （360°）。在自变量为 $2n\pi$ （或 $360^{\circ }n$ ，其中 $n$ 为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为 $(2n+1)\pi$ （ $360^{\circ }n+180^{\circ }$ ）时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

符号说明

余弦的符号为 $\cos$ ，取自拉丁文cosinus。该符号最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所采用。

定义

直角三角形中

直角三角形，∠C为直角，∠A 的角度为 $\theta$ ，对于 ∠A 而言，a为对边、b为邻边、c为斜边

在直角三角形中，一个锐角 $\angle A$ 的余弦定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

\cos \theta ={\frac {\mathrm {b} }{\mathrm {c} }}\,\!

可以发现其定义和正割函数互为倒数。

直角坐标系中

设 $\alpha$ 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left({x,y}\right)$ 是角的终边上一点， $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$ 是P到原点O的距离，则 $\alpha$ 的余弦定义为：

\cos \alpha ={\frac {x}{r}}\,\!

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角 $\theta$ ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 $\sin \theta$ 。

在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了 $\cos \theta ={\frac {x}{1}}$ 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于 $2\pi$ （360°）或小于 $-2\pi$ （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余弦变成了周期为 $2\pi$ （360°）的周期函数：

\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)=\cos \left(\theta +360^{\circ }k\right)

对于任何角度 $\theta$ 和任何整数 $k$ 。

级数定义

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,\!

微分方程定义

由于余弦的导数是负的正弦，正弦的导数是余弦，因此余弦函数满足初值问题

y''=-y,\,y(0)=1,\,y'(0)=0

这就是余弦的微分方程定义。

指数定义

\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,\!

恒等式

用其它三角函数来表示余弦

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\cos \theta =$	${\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$

两角和差公式

\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y

\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y

二倍角公式

\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta

三倍角公式

\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,

半角公式

\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}.\,

幂简约公式

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\,\!

\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}\,\!

和差化积公式

\cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)

\cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\theta +\phi  \over 2}\right)\sin \left({\theta -\phi  \over 2}\right)

万能公式

\cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}\,\!

含有余弦的积分

\int \cos cx\;dx={\frac {1}{c}}\sin cx\,\!

\int \cos ^{n}cx\;dx={\frac {\cos ^{n-1}cx\sin cx}{nc}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}cx\;dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!

\int x\cos cx\;dx={\frac {\cos cx}{c^{2}}}+{\frac {x\sin cx}{c}}\,\!

\int x^{n}\cos cx\;dx={\frac {x^{n}\sin cx}{c}}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}\sin cx\;dx\,\!

\int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {\cos cx}{x}}dx=\ln |cx|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(cx)^{2i}}{2i\cdot (2i)!}}\,\!

\int {\frac {\cos cx}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos cx}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {c}{n-1}}\int {\frac {\sin cx}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{\cos cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tan \left({\frac {cx}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|

\int {\frac {dx}{\cos ^{n}cx}}={\frac {\sin cx}{c(n-1)cos^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!

\int {\frac {dx}{1+\cos cx}}={\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {x\;dx}{1+\cos cx}}={\frac {x}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {x\;dx}{1-\cos cx}}=-{\frac {x}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}+{\frac {2}{c^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {cx}{2}}\right|

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1+\cos cx}}=x-{\frac {1}{c}}\tan {\frac {cx}{2}}\,\!

\int {\frac {\cos cx\;dx}{1-\cos cx}}=-x-{\frac {1}{c}}\cot {\frac {cx}{2}}\,\!

\int \cos c_{1}x\cos c_{2}x\;dx={\frac {\sin(c_{1}-c_{2})x}{2(c_{1}-c_{2})}}+{\frac {\sin(c_{1}+c_{2})x}{2(c_{1}+c_{2})}}\qquad {\mbox{(}}|c_{1}|\neq |c_{2}|{\mbox{)}}\,\!

特殊值

弪度	$0$	${\frac {\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{5}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {3\pi }{10}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {2\pi }{5}}$	${\frac {5\pi }{12}}$	${\frac {\pi }{2}}$
角度	$0^{\circ }$	$15^{\circ }$	$18^{\circ }$	$30^{\circ }$	$36^{\circ }$	$45^{\circ }$	$54^{\circ }$	$60^{\circ }$	$72^{\circ }$	$75^{\circ }$	$90^{\circ }$
cos	$1$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{4}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$0$