单位阶跃函数

单位阶跃函数，又称赫维赛德阶跃函数，通常用 $H$ 或 $θ$ 表记，有时也会用 $u$ 、 $1$ 或 $𝟙$ 表记，是一个由奥利弗·亥维赛提出的阶跃函数，参数为负时值为0，参数为正时值为1。

分段函数形式的定义如下：

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}

另一种定义为：

H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}

或

H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)

事实上， $x=0$ 的值在函数应用上并不重要，可以任意取。

连续函数逼近

$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}$

$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\$
$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\$

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}