單位階躍函數

單位階躍函數，又稱黑維塞階躍函數，通常用 $H$ 或 $θ$ 表記，有時也會用 $u$ 、 $1$ 或 $𝟙$ 表記，是一個由奧利弗·亥維賽提出的階躍函數，參數為負時值為0，參數為正時值為1。

分段函數形式的定義如下：

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}

另一種定義為：

H(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0\end{cases}}

或

H(x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {sgn}(x)\right)

事實上， $x=0$ 的值在函數應用上並不重要，可以任意取。

連續函數逼近

$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-2kx}}}$

$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(kx)\$
$H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} (kx)\$

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}