诺特环

诺特环是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后埃米·诺特从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。

定义

一个环 $A$ 称作诺特环，当且仅当对每个由 $A$ 的理想构成的升链 ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots ,\subset {\mathfrak {a}}_{n}\subset \ldots$ ，必存在 $N\subset \mathbb {N}$ ，使得对所有的 $n,m\geq N$ 都有 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ （换言之，此升链将会固定）。

另外一种等价的定义是： $A$ 的每个理想都是有限生成的。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左诺特环与右诺特环。 $A$ 是左（右）诺特环当且仅当 $A$ 在自己的左乘法下形成一个左（右）诺特模。对于交换环则无须分别左右。

基本性质

若 $A_{1},A_{2}$ 是诺特环，则其直积 $A_{1}\times A_{2}$ 亦然。
若 $A$ 是诺特环， $I\subset A$ 是任一理想，则其商环 $A/I$ 亦然。
若 $A$ 是诺特环，则其上的多项式环 $A[X]$ 及幂级数环 $A[[X]]$ 都是诺特环。
若 $A$ 是交换诺特环，则其对任一积性子集 $S$ 的局部化也是诺特环。
若 $A$ 是交换环， ${\mathfrak {q}}\subset A$ 为一有限生成理想，且 $A/{\mathfrak {q}}$ 是诺特环，则其完备化 ${\widehat {A}}=\lim _{n}A/{\mathfrak {q}}^{n}$ 也是诺特环。
一个左（右）阿廷环必定是左（右）诺特环。

例子

整数环 $\mathbb {Z}$ 是诺特环。
对任意的域 $k$ ，多项式环 $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ 及其商是诺特环。这是代数几何中最常见的情形。

以下是非诺特环的例子：

考虑有可数个变元的多项式环 $k[X_{1},X_{2},\ldots ]$ ，并考虑升链 $(X_{1})\subset (X_{1},X_{2})\subset \cdots \subset (X_{1},\ldots ,X_{n})\subset \cdots$ ，此升链不会固定。
考虑 $\mathbb {R}$ 上的全体连续函数，它们在逐点作乘法下构成一个环。考虑升链 $I_{n}:=\{f:x\geq n\Rightarrow f(x)=0\}$ ，此升链不会固定。

诺特群环

考虑一个群和一个环上的群环。如果环是一个交换环，群环是一个左诺特环当且仅当它是一个右诺特环。这是因为，此时群环的左、右理想之间存在自然的一一对应。对于非交换环这个结论不再成立。如果群环是一个左/右/双边诺特环，那么它的环是左/右/双边诺特环，并且它的群是一个诺特群。反之，如果任意诺特交换环以及多循环群被有限群的群扩张构成的群环都是双边诺特环。

参见条目

文献

Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X