GPY筛法(Goldston-Pintz-Yıldırım sieve)是一种筛法,这种筛法是塞尔伯格筛法的一种带有一般、多维筛选权重的变体。这种筛法已为解析数论的研究带来多项突破。
这种筛法以Goldston、Pintz和Yildirim这三位数学家为名。[1]他们在2005年时以此筛法证明说根据质数定理,可推出存在有无限多的质数组,其间隔任意地小于质数的平均间隔。
张益唐后来修改此筛法,以证明说两个相隔质数间出现无限多次的最小间隔的有限界限为何。[2]之后詹姆斯·梅纳德(他把上述的界限降到
[3])及陶哲轩都曾修改此筛法。
GPY筛法[编辑]
首先固定
,之后定义以下表记:
是质数集合,且
是这集合的特征方程。
是冯·曼戈尔特函数。
是用以计算
的不同质因数个数的小写俄梅戛函数。
是一组相异的非负整数
的集合。
是另一个关于质数的特征函数,其定义如下:
![{\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11864fb526514e09516ac39b0b3a123c444ee978)
- 其中
。
对于
有以下定义:
,
![{\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ccf02e4db640568d5e7e64eee0c8af22edd87f)
是
模
的相异同余类个数。像例如因为
且
之故,因此有
以及
。
假若对所有的
而言,都有
的话,则称
为“可及的”(admissible)。
设
为“可及的”,并考虑以下筛函数(sifting function):
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66b8277a70eb8179e5a190f80dad68083387b44)
那么对任意的
而言,这函数即是计算扣掉某个门槛
之后,形如
的质数的个数的函数,故在
的情况下,有某数
使得至少
是
中的质数。
由于
的解析性质没那么好之故,因此可改用下列的筛函数:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d057386e311417f2d78c3bbf8eeedc1be52277)
由于
且
之故,我们仅在存在
及
这两个质数的状况下,有
。我们接下来要做的,就是寻找权重函数
以便能测得质数k元组。
权重的派生[编辑]
一个权重函数的可能候选,是一般化的冯·曼戈尔特函数:
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd5f14b48db5a99a94fc8b99b04f5429505963c)
这函数有如次的性质:若
,则
。虽说这函数也会测得形式为质数幂的因子,但在应用中,这些因子可在仅造成可忽略误差的状况下移除。[1]:826
因此在
是质数k元组的状况下,以下方程不会消失:
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225dac6a72a700ec131d599c5272d817eaad632c)
其中
这因子仅仅是因方便计算而选取。
(古典)冯·曼戈尔特函数可以截形冯·曼戈尔特函数来估计:
![{\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a3c583f9b8d8df7d458caee18fbd6086b50bd7)
其中
不再表示
的长度,但用以决定截取点。类似地我们可以下式估计
:
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd137166d85f4b82fb3e7dda7c1935fc377ce00)
因为技术理由,我们会希望估计在多个部分中带有质数的数组,而非再引入另一个参数
的状况下仅仅估计质数组,因此我们可选取
或较不相异的质因数。而这引出了下列的最终形式:
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980e516762b45eda2069e5b3afe9b367fadc48b1)
在不引入
这额外参数的状况下,对不同的
有
这样的限制;但借由引入此参数,我们可得到更宽松的限制
。[1]:827
故对于
维的筛法问题,我们有
维的筛法。[4]
GPY筛法[编辑]
GPY筛法有下列形式:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60799481656076740b4ed97f870d2d4a94389ec6)
其中
.[1]:827-829
Goldston、Pintz及Yıldırım三氏对主定理的证明[编辑]
在考虑
、
以及
并定义
的情况下,Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他们的论文中,以两个定理证明了在合适的条件下,以下两个非病态的形式成立。这两个形式分别为
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f7e94091e8d09068f68dde001748c9d8928c6c)
以及
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a7acb5951276d9b578ee5e8d3ba55ead864b58)
其中
是两个常数,
及
是两个奇异级数(singular series),其描述在此省略。
最后我们可将此结果套用在
之上,以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏“存在有无限多的质数组,其间隔任意地小于质数的平均间隔”的结果。[1]:827-829
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819
.
- ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7
.
- ^ Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600
. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067
.