GPY篩法(Goldston-Pintz-Yıldırım sieve)是一種篩法,這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。
這種篩法以Goldston、Pintz和Yildirim這三位數學家為名。[1]他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理,可推出存在有無限多的質數組,其間隔任意地小於質數的平均間隔。
張益唐後來修改此篩法,以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。[2]之後詹姆斯·梅納德(他把上述的界限降到
[3])及陶哲軒都曾修改此篩法。
GPY篩法[編輯]
首先固定
,之後定義以下表記:
是質數集合,且
是這集合的特徵方程。
是馮·曼戈爾特函數。
是用以計算
的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數。
是一組相異的非負整數
的集合。
是另一個關於質數的特徵函數,其定義如下:
![{\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11864fb526514e09516ac39b0b3a123c444ee978)
- 其中
。
對於
有以下定義:
,
![{\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ccf02e4db640568d5e7e64eee0c8af22edd87f)
是
模
的相異同餘類個數。像例如因為
且
之故,因此有
以及
。
假若對所有的
而言,都有
的話,則稱
為「可及的」(admissible)。
設
為「可及的」,並考慮以下篩函數(sifting function):
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66b8277a70eb8179e5a190f80dad68083387b44)
那麼對任意的
而言,這函數即是計算扣掉某個門檻
之後,形如
的質數的個數的函數,故在
的情況下,有某數
使得至少
是
中的質數。
由於
的解析性質沒那麼好之故,因此可改用下列的篩函數:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d057386e311417f2d78c3bbf8eeedc1be52277)
由於
且
之故,我們僅在存在
及
這兩個質數的狀況下,有
。我們接下來要做的,就是尋找權重函數
以便能測得質數k元組。
權重的派生[編輯]
一個權重函數的可能候選,是一般化的馮·曼戈爾特函數:
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fd5f14b48db5a99a94fc8b99b04f5429505963c)
這函數有如次的性質:若
,則
。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子,但在應用中,這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。[1]:826
因此在
是質數k元組的狀況下,以下方程不會消失:
![{\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225dac6a72a700ec131d599c5272d817eaad632c)
其中
這因子僅僅是因方便計算而選取。
(古典)馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計:
![{\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a3c583f9b8d8df7d458caee18fbd6086b50bd7)
其中
不再表示
的長度,但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計
:
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd137166d85f4b82fb3e7dda7c1935fc377ce00)
因為技術理由,我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組,而非再引入另一個參數
的狀況下僅僅估計質數組,因此我們可選取
或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式:
![{\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/980e516762b45eda2069e5b3afe9b367fadc48b1)
在不引入
這額外參數的狀況下,對不同的
有
這樣的限制;但藉由引入此參數,我們可得到更寬鬆的限制
。[1]:827
故對於
維的篩法問題,我們有
維的篩法。[4]
GPY篩法[編輯]
GPY篩法有下列形式:
![{\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60799481656076740b4ed97f870d2d4a94389ec6)
其中
.[1]:827-829
Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明[編輯]
在考慮
、
以及
並定義
的情況下,Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中,以兩個定理證明了在合適的條件下,以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f7e94091e8d09068f68dde001748c9d8928c6c)
以及
![{\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80a7acb5951276d9b578ee5e8d3ba55ead864b58)
其中
是兩個常數,
及
是兩個奇異級數(singular series),其描述在此省略。
最後我們可將此結果套用在
之上,以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組,其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。[1]:827-829
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819
.
- ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7
.
- ^ Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600
. doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.
- ^ Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067
.